- Home
- Standard 11
- Physics
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ, સૂર્યનું પરિભ્રમણ કરતા ગ્રહનો આવર્તકાળ $(T)$ તે ગ્રહ અને સૂર્ય વચ્ચેના સરેરાશ અંતર $r$ ની ત્રણ ઘાતના સમપ્રમાણમાં છે.
$\therefore {T^2} = k{r^3}$,
જયાં $K$ અચળાંક છે.
જો સૂર્યનું અને ગ્રહનું દળ અનુક્રમે $M$ અને $m$ હોય, તો ન્યુટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ પરથી તેમની વચ્ચે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{{GMm}}{{{r^2}}}$, જયાં $G =$ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે. $G$ અને $K$ વચ્ચેનો સંબંઘ શેના વડે દર્શાવી શકાય?
$GK=4$${\pi ^2}$
$GMK=4$${\pi ^2}$
$K=G$
$K=$$\frac{1}{G}$
Solution
Gravitational force of attraction between sun and planet provides centripetal force for the orbit of planet.
$\therefore \frac{{GMm}}{{{r^2}}} = \frac{{m{v^2}}}{r}\,;\,{v^2} = \frac{{GM}}{r}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,…\left( i \right)$
Time period of the planet is given by
$T = \frac{{2\pi r}}{v},{T^2} = \frac{{4{\pi ^2}{r^2}}}{{{v^2}}} = \frac{{4{\pi ^2}{r^2}}}{{\left( {\frac{{GM}}{r}} \right)}}$ $(Using\,\,(i))$
${T^2} = \frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{GM}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,…\left( {ii} \right)$
According to question,
${T^2} = K{r^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,…\left( {iii} \right)$
Comparing equation $(ii)$ and $(iii)$, we get
$K = \frac{{4{\pi ^2}}}{{GM}}\,\,\,\therefore GMK = 4{\pi ^2}$
